Bolzano-Weierstrass teoremi klasik matematik analizin temel teoremlerinden biridir. İlk kez "Fonksiyonlar" adlı kitabında Bernhard Bolzano tarafından kullanıldı. Sonraki yıllarda bu teoremin ispatı tam olarak Karl Weierstrass tarafından verilmiştir. Bu nedenle, bu teorem analizde Bolzano-Weierstrass teoremi olarak bilinir.
ℝ, reel sayılar kümesinin, sınırlı ve sonsuz elemana sahip her alt kümesinin en az bir yığılma noktası vardır.Bir diğer deyişle R de her sınırlı dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.Bu teoremin ispatından önce 2 lemma ispatlanırsa daha anlaşılabilir aşağıdaki ispata göre. 1.Lemma:Bütün sınırlı monoton diziler yakınsar. 2.Lemma:Bütün dizilerin monoton bir altdizisi vardır.Bu iki lemma ispatlandıktan sonra elimize bir sınırlı dizi aldığımızda 2. Lemma ya göre monoton bir alt dizisi elde edilir sonra 1. lemma kullanılarak bu monoton altdizinin yakınsadığı sonucuna ulaşılarak teorem ispatlanır. ispat:
reel sayılarda sınırlı ve sonsuz elemanlı bir küme A olsun. Reel sayılar tamlık aksiyomunu sağladığından A kümesinin supremum ve infimum'u vardır. infA=x, supA=y olsun. Bu durumda her aЄA için x≤a≤y elde edilir. [x,y] aralığını iki kapalı aralığa bölelim. Bu aralıklardan en az bir tanesi sonsuz eleman kapsar. Böylece devam edilerek tümevarımla artan(x<sub>n</sub>) ve azalan (y<sub>n</sub>), x<sub>n</sub><y<sub>n</sub> dizilerini oluştururuz. [x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>] aralığının uzunluğu y<sub>n</sub>-x<sub>n</sub>=y-x/2<sup>n</sup> ve A∩[x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>] kümesinin sonsuz çoklukta elemanı vardır. (x<sub>n</sub>) artan sınırlı, (y<sub>n</sub>) azalan sınırlı dizi olduklarından yakınsar. lim<sub>n</sub>x<sub>n</sub>=sup<sub>n</sub>x<sub>n</sub>=p ve lim<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=inf<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=q olsun. y<sub>n</sub>-x<sub>n</sub>=y-x/2<sup>n</sup> olduğundan sup<sub>n</sub>x<sub>n</sub>=inf<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=p olur. ε>0 verilsin. y-x<y-x/2<sup>n</sup> olacak biçimde nЄN seçelim. bu durumda y<sub>n</sub>-p≤y<sub>n</sub>-x<sub>n</sub><ε ve p-x<sub>n</sub>≤y<sub>n</sub>-x<sub>n</sub><ε elde edilir. (p-ε,p+ε)aralığı A∩[x<sub>n</sub>,y<sub>n</sub>] kümesinin sonsuz çoklukta elemanını kapsadığından p noktası A kümesinin bir yığılma noktasıdır.
Orijinal kaynak: bolzano-weierstrass teoremi. Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.
Ne Demek sitesindeki bilgiler kullanıcılar vasıtasıyla veya otomatik oluşturulmuştur. Buradaki bilgilerin doğru olduğu garanti edilmez. Düzeltilmesi gereken bilgi olduğunu düşünüyorsanız bizimle iletişime geçiniz. Her türlü görüş, destek ve önerileriniz için iletisim@nedemek.page